KESEBANGUNAN DAN KEKONGRUENAN

Kamis, 22 September 2016

Pembukaan Materi

Sebutkan benda-benda
di sekitarmu yang
mempunyai bentuk
sama!
2. Sebutkan benda-benda
di sekitarmu yang
mempunyai bentuk sama
tetapi ukuran berbeda!
3. Sebutkan benda-benda
di sekitarmu yang
mempunyai bentuk dan
ukuran sama!

MODUL PENDALAMAN MATERI ESENSIAL DAN SULIT

MATA PELAJARAN : MATEMATIKA

ASPEK : GEOMETRI

STANDAR KOMPETENSI LULUSAN

Memahami bangun datar, bangun ruang, garis sejajar, dan sudut, serta menggunakannya dalam pemecahan masalah

INDIKATOR

Menyelesaikan masalah dengan menggunakan konsep kesebangunan

Menyelesaikan soal dengan menggunakan konsep kesebangunan dari dua trapesium sebangun

Menentukan perbandingan sisi pada dua segitiga sebangun

Menghitung panjang sisi pada dua segitiga sebangun

Menyelesaikan soal cerita yang berkaitan dengan kesebangunan

KATA KUNCI

Sebangun

Faktor skala

SOAL DAN PEMBAHASAN JILID III

SOAL DAN PEMBAHSAN JILID II

Perhatikan gambar dua buah belah ketupat di bawah ini, apakah kedua bangun tersebut dapat dinyatakan kongruen?

Penyelesaian:

Untuk menjawab soal tersebut, kalian harus mengingat kembali akan sifat-sifat bangun datar yang dimiliki oleh belah ketupat, yaitu:

a. Semua sisi sama panjang dan sepasang-sepasang sejajar.

b. sudut-sudut yang berhadapan sama besar dan terbagi dua sama besar.

Pada belah ketupat ABCD diatas, diketahui bahwa AB = BC = CD = AD = 6 cm,

Sudut A = sudut C = 40⁰, dan sudut B = sudut D = 140⁰ (sudut-sudut yang berhadapan)

Pada belah ketupat EFGH diatas, diketahui bahwa EF = FG = GH = EH = 6 cm,

Sudut E = sudut G = 40⁰, dan sudut F = sudut H = 140⁰

Dari uraian tersebut dapat diperoleh:

AB/EF = BC/FG = CD/GF = AD=EH = 1

sudut A = sudut C = Sudut E = sudut G = 40⁰

sudut B = sudut D = sudut F = sudut H = 140⁰

Karena sisi-sisinya yang bersesuaian memiliki ukuran sama panjang serta sudut-sudut yang bersesuaian sama besarnya, maka bangun ABCD dan EFGH bisa dikatakan kongruen.
Perhatikan gambar layang-layang di bawah ini:

Apakah layang-layang ABCD dan EFGH sebangun?

Penyelesaian:

Layang-layang mempunyai sepasang sudut berhadapan yang sama besar. Sifat tersebut dapat kita gunakan untuk mencari sudut-sudut yang belum diketahui besarnya pada sebuah laying-layang.

Untuk layang-layang ABCD:

Sudut D = Sudut B = 110⁰ dan sudut A = 60⁰

maka sudut C = 360⁰ – (110 + 110 + 80)⁰ = 80⁰

Untuk layang-layang EFGH:

Sudut H = Sudut F = 110⁰ dan sudut G = 80⁰

maka sudut E = 360⁰ – (110 + 110 + 80)⁰ = 60⁰

Dengan demikian kita bisa menyimpulkan bahwa:

Sudut A = sudut E, sudut B = sudut F, sudut C = sudut G, dan sudut D = sudut H. dan ternyata sudut-sudut yang bersesuaian pada kedua laying-layang tersebut sama besar.

Untuk layang-layang ABCD, diketahui bahwa CD = BC = 6 cm dan AB = AD = 9 cm

Untuk layang-layang EFGH, diketahui bahwa GH = FG = 4 cm dan EH = EF = 6 cm

Sehingga dapat diperoleh:

BC/FG = DC/GH = 6/4 = 3/2

AD/EH = AB/EF = 9/6 = 3/2

Karena sudut-sudutnya sama besar dan perbandingan sisi-sisinya bersesuaian maka dapat kita simpulkan bahwa laying-layang ABCD bersifat sebangun dengan EFGH.
Pada peta berskala 1:2.100.000, diketahui jarak antara Ambon dan Liang 2,1 cm. Tentukan jarak sebenarnya!
Penyelesaian:
Pada soal kita ketahui:
Skala = 1:2.100.00
Ukuran pada peta = 2,1 cm
Kita diminta mencari jarak sebenarnya.
Jawab:
Jarak sebenarnya = Ukuran pada peta : skala
        = 2,1 cm : 1/2.100.000
        = 2,1 cm x 2.100.000/1
        = 4.410.000 cm
        = 44,1 km
Dua persegi panjang berturut-turut berukuran 20cm x 15cm dan 4cm x 3cm. Apakah keduanya sebangun?
Penyelesaian:
Panjang 1 : panjang 2 = 20cm : 4cm = 5
lebar 1 : lebar 2 = 15cm : 3cm = 5
Oleh karena sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan panjang sisi-sisi yang bersesuaian sebanding, maka kedua persegi tersebut sebangun.
Perhatikan gambar berikut:

Apakah jajargenjang ABCD dan PGRS kongruen?
Penyelesaian:
Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang.
AB = QR = 2cm dan CD = PS = 2cm
AD = PQ = 3cm dan BC = SR = 3cm
Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.
<A = <S dan <C = <Q
<B = <P dan <D = <R
Jadi, jajargenjang ABCD dan PQRS kongruen.
Gambar di bawah ini menunjukkan dua bangun datar yang sebangun.

Hitunglah:
a. panjang AB
b. panjang PS
Penyelesaian:
Oleh karena bangun ABCD dan PGRS sebangun, maka panjang sisi-sisi yang bersesuain sebanding.
a. AB/PQ = DC/SR
   AB/16 = 6/12
   AB.12 = 16.6
   12AB = 96
   AB    = 96:12
   AB    = 8cm
Jadi panjang AB = 8cm

b. PS/AD = SR/DC
   PS/4 = 12/6
   PS.6 = 12.4
   6PS   = 48
   PS    = 48:6
   PS    = 8cm
Jadi, panjang PS = 8cm
Perhatikan gambar berikut:

Trapesium ABCD sebangun dengan trapesium EFGH. Panjang EH adalah...
Penyelesaian:
Oleh karena bangun ABCD dan EFGH sebangun, maka panjang sisi-sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan yang sama.
EH/AD = EF/AB
EH/8 = 18/12
EH.12 = 8.18
12EH = 144
EH    = 144:12
EH    = 12cm
Jadi, panjang EH adalah 12cm

Soal 6:
Kedua jajargenjang di bawah ini sebangun. Panjang BC adalah....

Penyelesaian:
Oleh karena bangun ABCD dan EFGH sebangun, maka panjang sisi-sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan yang sama.
BC/EH = AB/EF
BC/4 = 9/6
BC.6 = 4.9
6BC   = 36
BC    = 36:6
BC    = 6cm
Jadi, panjang BC adalah 6cm.
Perhatikan gambar segitiga dibawah ini!

Panjang AB adalah...
A. 20 cm
B. 40 cm
C. 80 cm
D. 100 cm

Pembahasan
AB : BC = AD : DE
AB : 20 cm = 20 cm : 5 cm
AB : 20 cm = 4
AB = 4 x 20 cm = 80 cm
Jawaban: C
Perhatikan gambar!

Jika AB = 12 cm, CD = 7 cm, AD = 8 cm, dan DE = 8 cm maka panjang CE adalah....
A. 16 cm
B. 8 cm
C. 7 cm
D. 6 cm

Pembahasan
AB : BC = DE : CE
12 cm : (AD + CE) = 8 cm : CE
3 : (8 cm + CE) = 2 : CE
3/2 = (8 cm + CE) / CE
3/2 = 8 cm / CE + CE / CE
3/2 = 8 cm / CE + 1
8 cm / CE = 3/2 - 1 = 1/2
CE = 8 cm / (1/2) = 16 cm
Jawaban: A
Perhatikan gambar dibawah ini!

Panjang DE = ...
A. 4 cm
B. 9 cm
C. 12 cm
D. 15 cm

Pembahasan
AB : AC = DE : CD
3 cm : 4 cm = DE : 12 cm
DE = 3/4 x 12 cm = 9 cm
Jawaban: B
Panjang AD adalah...
A. 4/3 cm
B. 5/3 cm
C. 1 cm
D. 2 cm

Pembahasan
BC : AB = DE : AD
12 cm : (AD + DB) = 3 cm : AD
12 cm : (AD + 4 cm) = 3 cm : AD
(AD + 4 cm) / AD = 12 cm / 3 cm = 4 cm
AD / AD + 4 cm / AD = 4 cm
1 + 4 cm / AD = 4 cm
4 cm / AD = 4 - 1 = 3 cm
AD = 4/3 cm
Jawaban: A
Sebuah karton berukutan 30 cm x 20 cm. Andi menempelkan gambar berwarna pada karton tersebut sehingga sisa karton disebelah kiri, kanan, dan atas gambar adalah 2 cm. Jika karton dan gambar sebangun, sisa karton bagian bawah selebar...
A. 2 cm
B. 4 cm
C. 6 cm
D. 8 cm

Pembahasan

Karena sebangun, sehingga
Panjang karton : lebar karton = panjang gambar : lebar gambar
30 cm : 20 cm = (30 - 2 - x) cm : (20 - 2 - 2) cm
3/2 = (28 - x) cm : 16 cm
(28 - x) cm = 3/2 x 16 cm = 24 cm
x = 28 cm - 24 cm = 4 cm
Jawaban: B

SOAL DAN PEMBAHASAN JILID 1

Diberikan dua buah persegipanjang ABCD dan persegipanjang PQRS seperti gambar berikut.

Kedua persegipanjang tersebut adalah sebangun. Tentukan:
a) panjang PQ
b) luas dan keliling persegipanjang PQRS Pembahasan
a) Perbandingan panjang garis AB dengan AD bersesuaian dengan perbandingan panjang garis PQ dengan PS. Sehingga
Panjang PQ = 24 cm

b) Luas persegipanjang PQRS = PQ x PS = 24 cm x 6 cm = 144 cm²
Keliling persegipanjang PQRS = 2 x (PQ + PS) = 2 x (24 cm + 6 cm) = 60 cm
Perhatikan gambar berikut!
Tentukan panjang DB!
Pembahasan
Soal ini tentang kesebangunan segitiga. Segitiga ABC yang lebih besar sebangun dengan segitiga kecil ADE sehingga perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian akan sama. Temukan dulu panjang sisi AB, ambil perbandingan alas dan tinggi dari kedua segitiga seperti berikut ini:

Dengan demikian DB = AB − AD = 15 cm − 10 cm = 5 cm
Dari soal berikut, tentukan:

a) QR
b) QU
Pembahasan
a) Penyelesaian seperti nomor 2, ambil perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian dari segitiga PQR dan segitiga SUR.
b) QU = QR − UR = 20 cm − 15 cm = 5 cm
Perhatikan gambar berikut!
Tentukan panjang DE
Pembahasan
Kesebangunan dua segitiga siku-siku
Dari soal berikut tentukan panjang DE!
Pembahasan
Bedakan pengambilan sisi-sisi yang bersesuaian dari soal nomor sebelumnya.
Diketahui panjang SR adalah 8 cm.
Tentukan panjang QS!
Pembahasan
Kongruensi dua segitiga siku-siku, tentukan lebih dahulu panjang PS gunakan teorema phytagoras akan didapat angka 6 cm untuk panjang PS. Kemudian lakukan perbandingan sisi yang sesuai:
Dari soal berikut ini tentukan panjang EF!
Pembahasan
Buat satu garis yang sejajar dengan garis AD namakan CH seperti gambar berikut.
Terlihat muncul data-data baru yaitu EG = 15 cm, AH = 15 cm dan HB = 13 cm. Ambil dua segitiga sebangun GFC dan HBC bandingkan sisi-sisi yang bersesuaian:
Dengan demikian panjang EF = EG + GF = 15 + 4 = 19 cm
Perhatikan gambar berikut ini.

Tentukan panjang EF, jika titik E dan titik F berturut-turut adalah titik tengah diagonal DB dan diagonal CA!
Pembahasan Cara pertama, Perhatikan garis DB yang dibagi menjadi segmen-segmen DE, EG dan GB.
Misalkan
panjang DB adalah 2a
maka
DE = a
EB = a
Dari kesebangunan segitiga DGC dan segitiga AGB didapatkan perbandingan panjang garis
DG : GB = 2 : 1 didapatnya dari 24 cm : 12 cm

Sehingga

Dari pembagian segmen garis DB terlihat bahwa
DG = DE + GE
Sehingga

Akhirnya bandingkan sisi-sisi yang bersesuaian pada segitiga kongruen ABG dan EGF.
Cara kedua, namun diingat hanya untuk tipe soal seperti ini saja, jadi titik E dan F nya di tengah-tengah, jangan gunakan untuk tipe soal yang lain:
Perhatikan gambar berikut ini!

Jarak titik E ke B adalah....
A. 1,5
B. 6
C. 8
D. 10
Pembahasan
Misalkan EB dinamakan x, maka AB nantinya akan sama dengan (2 + x). Perbandingan sisi EB dengan ED pada segitiga kecil (segitiga BDE), harus sama dengan perbandingan AB dengan AC pada segitiga besar (segitiga BCA). Selanjutnya:

Jadi panjang EB adalah 6 cm.
Perhatikan gambar berikut ini!

Panjang TQ adalah...
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
(UN 2007)
Pembahasan
Dengan cara yang sama dengan nomor 9 diperoleh:
Sebuah karton berukuran tinggi 30 cm dan lebar 20 cm. Budi menempelkan sebuah foto sehingga sisa karton di sebelah kiri, kanan, atas foto adalah 2 cm.
Jika foto dan karton sebangun, sisa karton di bawah foto adalah...
A. 5 cm
B. 4 cm
C. 3 cm
D. 2 cm
(Modifikasi Soal Kesebangunan - UN 2010)
Pembahasan
Perhatikan ilustrasi foto dan karton tempat menempel berikut, misalkan sisa panjang karton namakan sebagai x.

Perbandingan panjang dengan lebar foto harus sama dengan perbandingan panjang dengan lebar dari karton, karena sebangun.
Sebuah foto berukuran tinggi 30 cm dan lebar 20 cm ditempel pada sebuah karton. Sisa karton di sebelah kiri, kanan, atas foto 2 cm. Jika foto dan karton sebangun, sisa karton di bawah foto adalah...
A. 5 cm
B. 4 cm
C. 3 cm
D. 2 cm
(Soal Kesebangunan - Soal UN Matematika 2010)
Pembahasan
Perhatikan ilustrasi foto dan karton tempat menempel berikut,

Perbandingan panjang dengan lebar foto harus sama dengan perbandingan panjang dengan lebar dari karton, karena sebangun. Perhatikan perbedaannya dengan nomor sebelumnya dalam menempatkan x.
Perhatikan gambar!

Panjang EF adalah...
A. 20 cm
B. 21 cm
C. 23 cm
D. 26 cm
(UN SMP 2013)
Pembahasan
Tambahaan garis bantu, beri nama BG.

Panjang DG jadi 14 cm, dan GC 21 cm karena tadinya DC = 35 cm. Bandingkan sisi segitiga besar BGC dan segitiga kecil BHF yang bersesuaian hingga diperoleh panjang HF dulu.
Perhatikan gambar di samping!

Panjang TR adalah….
A. 2 cm
B. 3 cm
C. 4 cm
D. 6 cm
(UN Matematika SMP/MTs tahun 2014) Pembahasan
Dicoba dulu, petunjuknya, ΔPQR sebangun dengan ΔPTS, dengan ∠T bersesuaian dengan ∠Q, dan ∠S bersesuaian dengan ∠R. Sementara ∠P sama-sama dipakai kedua segitiga. Bandingkan sisi-sisi yang diketahui dan bersesuaian, biar lebih mudah diliat bisa digambar dulu kedua segitiga secara terpisah.
Kesebangunan Dua Persegi Panjang Psersegi panjang ABCD memiliki panjang dan lebar secara berturut-turut 13 cm dan 39 cm. Jika persegi panjang ABCD tersebut sebangun dengan persegi panjang KLMN, yang sisi terpanjangnya memiliki ukuran 24 cm, tentukan panjang sisi terpendek dari persegi panjang KLMN.
Pembahasan Persegi panjang ABCD dan KLMN dapat digambarkan sebagai berikut.

Karena persegi panjang ABCD sebangun dengan KLMN, maka panjang sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua persegi panjang tersebut merupakan perbandingan yang senilai. Sehingga,

Jadi, panjang sisi terpendek dari persegi panjang KLMN adalah 8 cm.
Perhatikan gambar di bawah ini!

Jika diketahui AB = 144 cm dan BC = 108 cm, persegi panjang ABCD, BCGF, dan EHGD merupakan persegi panjang-persegi panjang yang sebangun, tentukan luas daerah AFHE!
Pembahasan Karena persegi panjang ABCD sebangun dengan persegi panjang BCGF, maka

Karena CD = AB = 144 cm dan CG = 81 cm, maka EH = GD = CD – CG = 144 – 81 = 63 cm. Diketahui ABCD juga sebangun dengan EHGD, maka didapatkan

Sehingga, FH = FG – HG = BC – HG = 108 – 47,75 = 60,25 cm. Diperoleh luas dari segi empat AFHE adalah EH × FH = 63 × 60,25 = 3.795,75 cm².

Langganan: Postingan (Atom)